Фільтр Калмана

Транскрипція

Автоматичне розпізнавання мовлення, можливі помилки.

00:00:00 Лювий момент часу, і теоретично нескінченна область була вистачичена тієї імпульсної характеристики. І отут наведено у нас модель Вінтера, так, чи Віннера, Віннера. Коли в нас пов'язані дві скалярні, дві скалярні величини, кореляційні функції, але такі, ну, Мені було так, в принципі, незвично, що найпростіша модель або модель

00:00:46 Калмана зразу складається, не складається з одного рівняння, так, а складається з певної кількості рівнянь із. Різних величин і також матричні позначення використовуються на найпростіших моделях. Тут Можуть можуть може складність ти по розмірності задачі, скільки змінних ми розглядаємо, і по. Лінійності не лінійності буде. Ну починаємо ми із лінійних. Так. Далі е.

00:01:43 Поки ми перейдемо до фільтра Калмана, ще у нас дуже важливе значення мають короляційні функції. Так, і також ці, там ви побачите, що в фільтрі кламона є, використовується просто. Функція для перетворення координат. І використовується кореляційна функція. Зразу Перетворені сигналів. І зразу виникає питання, чому ж там використовується звичайна функція в іншому випадку кореляційні. Тому трошки пригадаємо, це пов'язано з тим, що кореляційна функція Вона

00:02:39 використовується у співвідношеннях методу найменших квадратів, у регресійному аналізі. От, і тому по суті, ми навіть розв'язуємо по відповідній зміні - ми розв'язуємо оптимізаційну задачу. Тобто, будуємо не прогноз, Якоїсь стану або будуємо найкраще із можливих можливих траєкторій, з можливих промісів. От. Так. Так, і тому ми тут розглянемо ще мету не менших квадратів трохи.

00:03:27 Так, ось далі. Так, це звичайна регресійна задача. Ну, коли в нас ігре - це та величина, яку ми моделюємо. Х це є множина значень спостереженої в Ц ці множина значень пояснюючих змінних. У це є вектор стовпчик, х це є матриця. Якщо в нас є декілька змінних пояснюючих, то в нас вже буде цей стовпчик, він розростеться в матрицю. Бета - це є параметри, якими ми моделюємо нашу залежність. У нас розглядається лінійна модель, тому тут звичайна лінія. Так, девектор вимірювань, матриця, план дизайну.

00:04:30 Та вектор невідомих оцінюваних параметрів. І от наше завдання в методі найменше квадратів, якраз оцінити ці параметри. І отут, якраз, і виникає кореляційних матриць. Так, також обов'язково враховуються похибки. Коли ми розглядаємо цю задачу регресії, тобто ще якась випадкова величина, як праел з нульовим отсподіванням, і яка представляєш ми, що ми. тобто, згідно певного закону розподілу, найкраще, коли це буде нормальний закон розподілу, вона коливається навколо цього нульового мацеподів.

00:05:27 Так, далі мету пригадують нам про ближче до кореляції, коваріації, вона буде складати, буде стосуватися якраз шумів. Тобто в нашій системі буде така, ніби як передавання інформації, якісь команди будучи, так, і система буде виконувати. Ці команди, але вона також і буде повідомляти свої координати. Тобто, щоб щоб ми могли знати, де вона розташована,

00:06:16 і вона, тобто, це буде ніби як сигнал. Так, сигнал, І в цих сигналах, що передаються різними каналами, можуть бути сильні шуми, сильні завади. І тут якраз для Відслідковування тісних цих сигналів розглядаються коваріаційні або кореляційні матриці. Значить, коворіаційна матриця - це матриця яка складається із випадкових величин,

00:07:04 енвемірних, і її структура така, що по головній діагоналі дисперсія випадкової величини подається. А по Побічних діагоналях, по інших недіагональних елементах показуються зв'язки або коефіцієнти коваріації Відповідними формулами. Обчислюється елементів іод. Наприклад, коваріація еплоду і не епсилон 2 - це коваріація між елементами е1 е2. Так, коли ці аргументи співпадають, то ми отримуємо відповідну дисперсію. Які недолік цієї кореляційної матриці, вона прив'язана до одиниці мірів.

00:08:06 І для зручності переходять до кореляційної матриці. Тобто. Длять. Для кожну стрічку, ділять на дисперсії, куці на дисперсії, переходять до безрозмірних величин і там, в яких би ми не вимірювали одиниці, всі будуть одиниці безрозмірні. А тоді виходять по головній діагоналі в нас одинички. А кожна коваріація буде ділитися на дисперсію відповідної стрічки. І таким чином ми отримаємо коефіцієнт кореляції. Так. Коефіцієнт кореляції. Коли коваріація може приймати різноманітні значення?

00:09:09 Максимум коваряції с це дисперсія. Так, і тому, і тому у нас кореляційна ця матриця, десь вона далі буде показана. От вона є. Так, кореляційна матриця. По діагоналі в нас одинички, а решта всі коефіцієнти приймають значення на інтервалі від мінус 1 до одиниці. Коли від'ємні значення, то зростання однієї відповідної вучини приводять до зменшення іншої величини, а коли позитивний кофіцієнт кореляції, то зростання однієї величини приводить до збільшення пов'язаний з нею чи не яку ми там досліджу так

00:10:18 і е Звичайний це рівняння, яке ми розглядали, це рівняння звичайно менше квадратів. Але коли о цей коли у нас дисперсії по величинах сильно відрізняється, то тоді приходять до постановки задачі зважених вагових кофеців або зваженого методу найменших квадратів і мені забігується не просто

00:11:06 похибка між прогнозом і реальним спостереженим значенням, а зважена похибка? Значить, чому ще називається метр не менше квадратів? Тому що ми розглядаємо суму у всіх точках, суму значення у всіх точках спостереження. Різниці прогнозованої лінійної моделі і реального значення, і щоб не впливало, на значення цієї суми, не впливав знак, тому ця різниця береться до квадрату. І ця сума повинна отримати мінімальне значення, бути мінімальне відхилення. То й називають метод найменше квадрат. Але коли ми розглядаємо, враховуємо дисперсії елементів, то у нас

00:12:13 наги, тут теоретично написано, що можуть бути будь-які ваги, переходять не тільки похибка, квадрат похибки, тобто е транспоноване на Е, коли ми ці два вектори перемножимо, то якраз вийде сума квадратів. А між ними ще стоїть матриця. Матриця вах, а скажемо, оптимальна вагова матриця є оберний дековаріаційний матриц. Тобто, щоб ми отримали найменше відхилення можливих,

00:13:06 нам треба в ясті ваг вибрати коваріційну матрицю. Коваріційна матриця десь вона там розглядалася в нас як. О тут представлялася. Сіма вона представляється як кореляційна матриця, нормована, про що ми говорили, і діагональна матриця серед середньоквадратичних відхід. Тобто, щоб якраз від одиничної цієї діагоналі перейти до діагоналі.

00:13:56 На якій стоять дисперсія. Тому, ну так, таке представлення і відповідно, якщо ми беремо оберну ковариційну матрицю., це доведені там теоретиками нашими. Якраз метод Гауса, метод менших квадратів називається метод Гауса, то це досліджував Гаус. Він показав, що якщо ми хочемо отримати найкращі оцінки наших коефіцієнтів, то мінімізувати треба із

00:14:42 ваговими коефіцієнтами оберної кореляційної матриці. Ну, ДРД беремо, тепер беремо оберний, ми знаємо. Якщо беремо оберний елемент, то треба брати оберний від кожного елементу її. Добутку міняється на зворотній. Ну, але оскільки в нас зліва і справа елементи, то за порядок зміни тут не, скажімо, не впливає, а просто всі елементи переходять до оберну.

00:15:30 Так. і далі в нас є уже через це ж саме співвідношення через Через елементне представлення матриць, коли. Обне, ну тут десь спершу, певно, загубився. Коли обернена ко. варіація, так. ага, миніт. Так, Р мінус перший, ні, ні, все добре. Р-1 це обернено до кореляційної матриці. А Д-1 показано отут у нас. Сліва і справа, ну. До діагональної матриці дуже просто знайти оберну, це буде просто

00:16:31 по діагоналі будуть стояти у нас оберні елементи. Тому тут и делается так. Відповідно. Подається також, оцінка для цього коефіцієнта невідомих параметрів показано, ну тут ще раз показано, що це є

00:17:20 обернена, коли матриці до ковореції. Так, так розклад ходецько. Коли ми коваріаційну матрицю розписуємо на як добуток нижній нижній трикутній матриці і транспонованої до неї і зараз. З допомогою цього розкладу ми переходимо від наших початкових змінних, у Х, також е.

00:18:20 Ми переходимо до нових зміних перетворених. У з хвилькою, хвилькою, епсин з квилькою. І тоді у нас після цих перетворень ми знову переходимо до звичайного мету на менших квадратів, але він вже використовує ці дисперсії, орієнтовно на дисперсії. При цьому коворіаційна матриця нових помирок стає одинична. Ну, і так би що би як би не було, ми розуміємо, що коли ми хочемо побудувати оптимальну оцінку якоїсь лінійної моделі, то нам треба використовувати або кореляційну, або коваріаційну матрицю.

00:19:18 Так. І давайте ми на цьому зробимо перерву. В 2,15 продовжимо, а поки що. В 2,25, вибачте. 2,25 продовжуємо, а поки що у нас перерва, 15 хвилин і зустрінемось після перерв. Якщо в когось немає, все уважиться. Можна просто не виходити з зуму, а через п'ятнадцять хвилин просто повернемось. Як то зустріч?

00:41:11 продовжуємо нас віднять, да? Там хлопці перша, що враження очікування є. Перегляньте по можливості, щоб додати. Ще є, ще є. А, троє людей. Можливо, їх відключили, не двух.

00:42:02 Оце треба, щоб зразу попадали. Добре. Тобто дванадцять нас учасників, добре так, три член учасники.

00:42:49 Тут далі у нас подається кореляційні структури в різних часткових ситуаціях, які бувають. Тобто, якщо в нас класичні методи менше квадратів, всі вимірювання не корельовані, то ми маємо коваріаційну матриця в нас суто діагональна. По діагоналі стоять дисперсія. Авторегресійна структура. Тобто. Коли ми можемо кожну наступну варіацію побудувати за допомогою степеневої функції. Це

00:43:42 знаменник цієї, можна сказати, геометричні прогресії, обов'язково повинен бути від мінус одиниці до одиниці. І в результаті, коли ми будемо брати ці степені, у нас коефіцієнт Коваріації при віддалені. Тут. А, кофєєнт кореляцій. При віддаленні від однолічної діагоналі у нас кофеєнт кореляції буде спадати. Так ще який у нас тут. Частковий випадок, просторова кореляція, залежить від відстень між точками в імірі. Тобто, беремо через експоненту і кофіцієнт кореляції

00:44:43 обчислюється як експонента з від'ємним показником від віддалі шточками вимірювання, а також Ти що ділиться на які на базові ковці? Так Ну, і тут далі вже розглядається. Практичний приклад.

00:45:33 Для випадку эндорівню 2, для випадку двох змінних. Коли є корельовані ці зміні, коефіцієнт кореляції між ними Р менші 1, а відповідно, коли ми будемо мати цю кореляційну матрицю, коваріаційну матрицю ми отримаємо, коли. Ага. І тут також сказано, допущено, що дисперсії цих величин співпадають до рівня сигма квадрат, то

00:46:23 тоді наша діагональна матриця перетворюється в скаляр, можна розглядати як скаляр, і ціх дві добуток двох діагональних матриць. можемо розглядати квадрат с коляра, тобто кореляційну матрицю, просто множимо на кофіцієнт дисперсії, і отримуємо коваріаційну матрицю. Тепер обернана матриця розраховується, може бути розрахована теоретично, випадку 2 на 2. Так,

00:47:08 з допомогою відповідно масштабуючого множника і такої от структури. І відповідно далі цю систему 2 на 2 розв'язують з допомогою відповідного співвідношення е так Це буде обернана, обернана матриця до до короляційної, так. Отут показано зліва.

00:48:03 Далі, і далі така ж сама перетворення від правої частини використовується з помилкою овіряційної матриці. Так, і можна там отримати якісь оцінка методом найменших квадратів. Так, коли ми перерахуємо в коцієнти, то отримаємо, що. Так, що це будуть півсума оцінок цих спостережень вилуч. Так, і

00:48:54 що так? Якщо Якщо зміни не корельовані, то отримується, що стандартне всередині двох незалежних вимірювань, що точність їх зростає в корінь з двох разів. Коли вони эднакові, тобто е Співмірні, коли регресія між ними прямує до одиниці, в деякі мірі квалентні, то

00:49:41 Уточнення вимірювання не відбувається, і якщо Р прямує до мінус одиниці, коли ми бачимо, що Р до мінус одиниці, то нас. Оцінці варіації наш чисельник прямує до нуля, і відповідно варіація також військо зменшується. Таким чином ми можемо отримати різке підвищення точно так Але так якось було анонсовано в нас. Що ми будемо розглядати з вами математичну модель автономної системи. Так, і, можливо, такий затяжний вступ, але щоб ми розуміли, що одним простим рівнянням, так як бачення.

00:50:49 Так. Так як у цьому, зараз ключу звер. Для одновімірної модели. Ми розглядали, ми розглядали перед тим. Тут ми не зможемо цього побудувати, і тому розглядається структурна мода. Ця структурна модель складається з двох частин: з рівняння стану і зрівняння вимірів. Значить, рівняння стану показує

00:51:40 зміну якоїсь характеристики, базової характеристики нашої нашого цього об'єкта. Допустимо, якщо ми маємо там автономний об'єкт, то він показує його координати. Але оскільки ми розглядаємо тут скалярні величини, то тут така ідеалізована ситуація, що координата одновибірна. Тобто найпустіша така ситуація, це може бути якась температура або інша якась скалярна величина, яка характеризує стан нашого об'єкту

00:52:30 Далі це рівняння стану, показує нам значення. Поточне значення цієї зміни, як воно може бути оцене через попередній стан. Тобто Ха і ХК оцінюючись через ХК мінус 1. З допомогою відповідного лінійного оператору. В даного випадку ФК. Може бути просто якийсь коефіцієнт. Передбачається такой. До побачення, що може відбуватися, так. Що може відбуватися. Може відбуватися. Так, якщо ви хочете покинути, то можете не прощатися Точно, якщо хочете обов'язково попрощатися, можете в чат написати.

00:53:38 Так. Бо зараз ми почнемо тут. Перекличку робити. Так, е. У нас йде тобто, у нас йде зміна стану, зміна управління, який ми це ми можемо цей стан змінити? Воно обозначається К? І вона також діє відповідним чином на нашу зміну? Сильна пояс изображен. А ты не знаю, что это. Вот так. Вот это должен быть. Так, там сьогодні немає микрофоном, щоб там не вийшло. Щоб в нас посторонні якісь шумі. Так, і також і також у нас

00:54:36 також у нас йде якесь збурення. Але окрім того, що наша система змінює свою характеристику. Так, я хотів би все-таки, це у нас Руслан Скалій. Подивіться за своїм мікрофоном. Де якась стороння інформація? Да, ні, давайте не місто. Пахлепо, напевно, треба було б відключити так. Крім того, що змінився стан системи, система передає інформацію про свій стан. І це називається спостереженням.

00:55:31 Тобто, наша система має певний датчик і вона передає інформацію про своє розташування. Це спостереження в нас позначається зміною ЗК. І якщо би в нас була якась аналогія із попереднім рівнянням, то ми б могли отримати таке саме рівняння для ЗК. Але ми бачимо, що тут характер цього рівняння для вимірювання. Іший. В чому справа?

00:56:17 Ми, по перше, ми обчислюємо з ткане через попереднє спостереження, а через прогнозований стан. Тобто, Х-К ми прогнозуємо по першому рівнянню, а тут в другому ми вже використовуємо. Для прогнозування спостережень ми використовуємо це отримане значення - Х-К. Також якась константа там, допустимо, притворення, так, Х, і точніше, якась величина Х, ми по неї поговоримо. І також відповідна похибка, що є в нас така.

00:57:17 Добре. Але ця величина ячка може бути, в принципі, довільна якісь, довільна константи, довільна зміна, і ми будемо прогнозувати наш сигнал на основі Оцінки. Оцінки стану, та прогнозу стану але Якщо ми візьмемо замість будь-якої там константи, візьмемо кореляційну матрицю,

00:58:08 Точніше коваріаційну матрицю. То ми зможемо побудувати оптимальну оцінку цього спостереження. Тобто, отримати оцінку спостереження з найменшою похибкою. Чому так виходить? Так. Матриця. Значить, тут розглядаємо випадок найпростіший. Коли матриця переходу у нас ф до рівня одиниці, матриця вимірювань також до рівні одиниці. Так.

00:58:53 І... при побудові. При побудові прогнозу стану ми використовуємо еф. Коваріаційну матрицю. І в результаті того, що ми використовуємо коваріаційну матрицю, далі ми побачимо, як це відбувається. У нас ми по суті переходимо, хоча це є два рівняння, але у нас ми перейшли до оптимізаційно задачі. Коли

00:59:41 для Х- тут звичайні перетворення відбуваються, а для ЗК ми шукаємо мінімальну оцінку. Так як ми говорили про метод найменших квадратів, коли в результаті цих перетворень використовується коваріаційна матриця точніше оберну до коваріційної. То ми отримаємо оптимальну оцінку для цих вимів. Тобто з мінімальною дисперсією. Ми далі будемо розглядати, в принципі, розширений фільтр, коли там будуть нелініна компонента. Але з цього прикладу я просто хотів навести ілюстрацію, щоб трошки якось наблизити до сприйняття

01:00:44 ми будемо з вами розглядати рух прямолінійний, бачите, це зелений пунктир. Не з допомогою. Цього фільтра Калмана будемо оцінювати стан стан цієї системи. Ми бачимо тут синеньким кольором. Це все реальне обчислення у нас, де відповідна програма. Одиниці ми будемо будувати такого роду. І також в нас буде задана досить значна дисперсія, і наші ці

01:01:36 оцінки стану будуть спотворені похибками. І ці похибки, або як ми можемо ці вимірювання з похибками, або як ми їх називаємо спостереженням, вони у нас показані тут червоними хрестиками, і ми бачимо, наскільки. Наскільки тут ці отримані з датчиків значення відрізняються від реальної траєкторії, яка показана зараз

01:02:25 Але внаслідок використання фільтра Калмара, коли в нас використовуються кореляційні матриці, і коли в нас відбувається зладження, оптимізація оцінок, значить, наша оцінка - це в принципі не зміщення, а це оцінка, Спостереження показано з синім кольором. Ми бачимо, наскільки ця оцінка ближче до реальної траєкторії, порівняно із цими червоними, збуреними червоними хрестиками. Причому ще коли на початку траєкторії ми бачимо окремі великі відхилення, то вже, хоча так подивитися, дисперсія не зменшується, але оскільки цей алгоритм відбувалася, відбулася певна адаптація, і ми бачимо, що в кінці вже в нас досить такі

01:03:36 реалістичні дані подаються. Таким чином, ми тут бачимо наочно, що ця модель фільтр Калмана дає змогу не тільки будувати будь-який прогноз, але будувати оцінки із мінімальними відхиленнями. І тут треба зразу собі побачити чи відзначити, що ця модель Калмана складається з двох частин. Складається із. Так, девме. У нас є вже прискочить.

01:04:30 Складається із рівняння стану. Надзвичайне, по суті, лінійне чи не лінійне перетворення і також із рівняння частини, яка прогнозує вимірювання. Вимірювання прогнозується по стану. І також використовується якась характеристика коваріаційної матриці, і таким чином ми можемо мінімізувати дисперсію промосу. Так Так, давайте перейдемо до наступно теми, тобто це буде продовження, але вже окремі випадки, якісь окремі такі особливості для

01:05:23 моделей Калмана. Ну, найпростіші, в принципі, щоб побачити, як вони реалізуються у самих простих випадках. Так, значить, розглядається. Там ми перший раз розглядали просто скалярну величину. Тепер ми скажемо, ну, все-таки, можна сказати, що це якийсь автономний датчик, який щось передає свого положення не міняє. А тепер така модель, коли наш об'єкт

01:06:12 міняє своє положення, але він рухається тільки такий спрощена ситуація, рухається тільки по може подаватися одним скаляром. Так. Ту і для того, щоб е. Передати так униздовшу сів. Визначається його положення координатою П і також швидкістю. Тому що, хоча і сказано, що рухається з постійною швидкістю, але в реальній ситуації ця швидкість може мінятися. І таким чином стан нашої системи вже

01:07:15 буде визначатися двома величинами. Двома величинами: це буде позиція П і швидкість В. Тепер для того, щоб в цьому випадку побудувати модель Каумана, нам треба. На треба. На треба. Побудувати рівняння переходу і рівняння вимірів. Для того, щоб побудувати нам рівняння переходу, подивимося, як воно зміниться. Е. Ми. С наш оператор Ф. Виразмов за допомогою матриці.

01:08:12 Чому? Тому що у нас зміна положення об'єкта чи позиції буде, чи нова позиція буде обчислюватися як попередній стан, плюс швидкість, яка помножений на крок по часу. Так, відповідно, якщо ми візьмемо матричну представлені, то це, ну, а зміна стану у нас ПКВК. Так, так, то це буде як

01:08:57 ПК або ПК мінус один, ВК мінус один, то це буде перший ножник це є одиничка, другий множник це є дета Т. Таким чином, по першій координаті ми будемо мати перетворення одиничка дельта Т. Тобто, це є кофеєнти першої стрічки матриці. А по другій коорднаті вважаємо, що все-таки швидкості міняється не сильно, можливо, випадковим чином, але в цілому, вони не сильно міняються, і тому ми покладаємо, що нове значення швидкості дорівнює попередньому значенню швидко. Тому

01:09:53 на значення швидкості позиція не впливає, нуль, а попеннє значення швидкості множиться на одиничку. Тому в нас виходить по другій стрісті 0-1. Це нас про матрицю переходу. Але також у нас повинна бути матриця вимінювання. Матрице вимірювань, мщо в нас вимірюється цей. Вимірюється лише позиція, а не позиція і швидкість, то в нас матриці вимірювань задається

01:10:52 стрічкою, нією стрічкою, де по позиції, здається, одиниця, а по швидкості нуль, що ніби швидкість не впливає нашою мірюю. Так, тепер в нас обов'язково нам треба мати цю коваріацію так, щоб отримати оптимальну оцінку. М. Так тут. розглядається, що в нашого процесу також

01:11:38 властиве випадкове прискорення. Прискорення із нульовим отсподіванням, тому що це є збурення, так, шум, і дисперсію з яку яку якась величина сіма квадрат? Так.. Тепер е постановка. Ага. Задачі. Ну, ми вже є розглядати, так. Е.-К позиція визначається координатою і швидкістю, нехай між кроками діє постійне випадкове прискорення. М. Так, сіма квадрат.

01:12:40 Матриця передачі шум. Так, і тепер е будемо? З врахуванням цього прискорення вже буде інше рівняння. рівняння переходу стану. Буде в нас. Так ф на икс ка минус один і же на Ака. Так, і якраз оце ну Ф ми будували Ж. Щоб побудувати Жогляду на кіноматичний рівняння, якщо ми вважаємо, що швидкість міняється

01:13:41 або оцінюється через добуток прискорення на крок по часу, точніше навпаки, якщо ми розглядаємо прискорений рух, то відстань, який ми отримаємо через деякий час перерівну прискореному руху. Всі. І через час дельта Т це Ахвадрат, що діється на 2. Так, Відомий такий співвідношення з фізики, і тому Х визначається з допомогою цього співношення. А коли ми будемо розглядати швидкість, швидкість це буде інтеграл від.

01:14:39 Поки швидкість це буде похідна від. Від переміщення, і коли ми знайдемо похідну від АТ квадратного 2, то відповідно у нас вийде. Квадрат і одно, друге, скоротить, нас вийде а дельтат. І тому так. По компонентах, якщо ми будемо розписувати Х-кати, то по першій компоненті у нас буде Т квадратно 2. Для того, щоб показати зміну х, а по швидкості буде просто дельта т. Тому для перетворення координат буде у нас матриця відступним чином виглядає.

01:15:38 Так. А, ну тут далі показується як. Зміна швидкості обчислюється через прискорення. Так, через інтеграл від прискорення. А ось скільки прискорення приблизно на малому інтервалі вважається постійним, то це буде прискорення помножити на дельта Т. Так, далі. Зміна координат є подвійний інтеграл від прискорення. Так. Тобто, інтеграл від швидкості, АК на дельта Т, інтеграл від АК на дета Т, тут це буде АК задушки, як постійний, а інтеграл від Т це буде Т квадрат поділити на 2, на цьому інтервалі від 0 до дельта Т, то відповідно цей визначен інтеграл будете А дельта Т квадрат не поділити на 2.

01:16:52 Так. Так. І тоді в нас важливий такий момент, це як оцінити матрицю коваріації. Для того, щоб побудувати оцінкові мілі. Так, значить, це коваріація за означенням: це є добуток квадратів, так цього

01:17:37 збуреного значення вимірювання? Так же Ака. ЖАК, так, це є якраз збурення, яке мносить наше прискорю так і. Так, берется матричний квадрат від цього вектора, так?

01:18:25 Якщо ми будемо вважати що ака в нас відносно пустійне е. Точніше, в нас вже відносно постійне, то вже ми виносимо за душки, а в душках у нас виходить АК, у нас сподівання від АК на АК транспоноване, тобто це є АК в квадраті. І мат сподівання від АК в квадраті . Це є дисперсія Сигма Сіма Квадрат а

01:19:20 і коли ми будемо? Оце, озеро, коли ми будемо підставляти значення Ж в цю формулу, яке ми побудували раніше, то ми можемо, ну як скаляр, сигма А квадрат, винести на перше місце, а на другому місці у нас буде оцінка Г, це дельта Т квадратна 2. Ми тільки що будували, і перша компонента, друга дельта Т.

01:20:09 І зробити матричне множення стовпчика на стрічку. От давайте це зробимо. Значить, пригадаємо перший курс е, перш так перша. стрічка на перший стовпчик, то це буде просто дельта Т квадрат на 2 в квадраті, це буде дельта Т в четвертому на 4, тоді. Перший коефіцієнт на другий, перший коефіцієнт із стовпчика, на другий коефіцієнт із стрічки, то це буде дета т в квадраті, та ще на дета т. Тут це буде дельта Т в кубі. Так, отут, і поділити на два. Бачимо дельта Т в кубі.

01:21:10 Що ділиться на 2. Далі беремо другу стрічку, дета Т множимо на дельта Т квадрат на 2. Знову будемо мати дета Т в кубі поділити на 2. І дельта Т помножити на дельта Т це дельта Т в квадрат. Таким чином ми оцінили оцю коворіційну матрицю. І далі вже можемо використовувати цю формулу, щоб давати оптимальну оцінку вимідювань, щоб оптимізувати наші мірі. Тепер

01:21:58 також дуже дивно виглядає рух автономної системи вздовж прямої хоча б в рамках певної площини. Тому наступна така спрощена, але трошки реалістичніша модель. Це модель руху автономної системи. По площині. Так, по площині. В площині Хі. Так, відбувається. Причому ми вважаємо, що цей рух відбувається також з різними змінами і з різними такими збуреннями, і прискорення, яка характеризується прискоренням.

01:23:00 А прискорення має компонент у Х і. В кожній координаті має свою компоненту. Як Як в такому випадку в нас на основі тієї коваріної матриці, що ми на попередньому кроці побудували, як нам побудувати тут варіаційну матрицю. А от варіаційну матрицю в плоскому випадку. Значить, беремо просто це сима

01:23:46 а, вже не виносимо задушки, тому що воно має різні, скажімо, компоненти по координаті Х і по координаті И розглядаємо, що наша коваріаційна матриця тепер буде складатися із блоків такі. Перший. Перший блок це є. Пповідає першому елементу попередньої матриці дельта Т квадрат на 4, але він же не множиться на сигма А в квадраті, а множиться на сигма А з індексом Х і Сигма А з індексом І. Тобто, ми маємо замість одного елемента ми маємо такий блок з 4 коефіцієн.

01:24:51 Далі відповідний був у нас коефіцієнт дельта Т куб, що ділиться на 2. Він тут і залишається, але відповідно множиться вже не на сигма А квадрат, а на сигма А Х квадрат і сигма Аудрат. Так, також диагональна. Така матриця 2 на 2. Але відрізняється компонентами по просторових координатах Х і. І дуже подібно й по другій стрічці йде перетворення. Таке саме буде

01:25:37 блочок, такий самий, як тільки що ми розглядали, типу дельта Т кубна два, і останній блок два на два, це блок, який моделюється дельта Т квадрат, але буде множитись не на сиг А2, а на Сима Ах2, Сиг Ай квадрат, також матриця 2х2 на два. Ну, і тут вже сказано, що якщо ми можемо оцінити коваріаційну матрицю, то ми можемо перейти від моделювання будь-якої траєкторії, коли б ми не брали коваріації, а будь-яку матрицю. Якусь із цих можливих, в принципі, не траєкторій, а вимірювань, значень вимірювань, які в нас там ми бачили на малюнку, позначалися червоними хрестиками до оптимізованих

01:26:57 оптимізованих оцінок вимірювань, які в нас позначалися сині лінії, так, і ми можемо, за цими розрахунками, прийти до задачі на оббудованих мінімальних збори сигналу, що реалізується моїх найменших квадратів гаус. Так. Добре, це те ж сама матриця, бо що одновимірна цінена. Так, далі. Ще є окремий випадок.

01:27:46 Одновимірний рух із пустійним прискоренням. Тобто. Можна розглядати, там, допустим, якийсь аналог руху, рівномірну глуху, ну, але рівномірний, але трохи змінливою швидкістю всіки спорень. Тобто, які описуються параметром ВК, але навіть такий найпростіший рух, в такому найпростішому русі може здійснюватися, можуть здійснюватися маневри. Тобто може здійснюватися зміна напрямку. Бо дуже не дуже вже ми себе обмежуємо, коли будемо розглядати

01:28:48 тільки якийсь прямолінійний рук, в реальності немає, так, можна міняти напрямки, а коли міняти напрямки, то навіть при рівномірному русі вже буде мінятися кут руху, і це вже можна розглядати як прискорю. Тому в цьому випадку ми маємо, модель характеристики стану, в нас мінімум з трьох повинні складатися величез. Це є положення. ПК, тоді

01:29:33 швидкість, параметри положення, параметри положення, параметр швидкості і параметри прискорень. І давайте як тоді в цьому випадку зміниться наша матриця переходження Ф. Так. В принципі, ми вже будували такі і по швидкості, і по прискоренню оцінки, то ми вже знаємо, якщо всі три характеристики задіяні, то в принципі, положення рахується по попередньому, тобто буде одиничка коефіцієнт, далі швидкість, це буде.

01:30:28 Зміна положення по швидкості, зміна положення по швидкості. Це треба швидкість помножити на дета Т, то вже ми побачимо, скільки зміниться положення. І зміна положення по прискоренню . Це віддалі при рівномірному русі, рівноприскореному, точніше, дельта Т квадрат на 2. Тепер як зміниться швидкість? Положення не впливає. Швидкість береться по попередньому, передній швидкості, і коли як буде впливати прискорення? Прискорення буде

01:31:19 множитися на дельта Т. Тобто, це буде інтеграл від, щоб оцінити швидкість, нам треба буде інтеграл від прискорення. Інтеграл від прискорення по інтервалу дета т, це і буде дета т. Тепер прискорення вважається умовно постійно. Тепер як буде перетворюватися прискорення? Положення і швидкість не впливає і при малих змінах вважаємо, що прискорення

01:32:04 дорівнює попередньому своєму попередньому стану, тобто маємо одиничку. Так, і це буде матриця переходу стану для першого типу рівнянь, щоб нам побудувати, і матриця вимірювань. Це тільки вимірювання, нехай тут в залежності від того, що наша система вимірює. Якщо наша система вимірює тільки позицію, то відповідно, по першій характеристиці буде одиничка, друга, третя рівнять нулю, а інколи тут повідомляють, що вимірюється і позиція, і позиція, і прискорення,

01:32:58 то тоді відповідно вже. Буде впливати. На позицію буде одиничка, на прискорення одиничка. Так, а швидкість мінятися не впливати не буде на. На зміну цих. Показників так, і також дловиміний рух на площині. Також щоб дати хоч якої якийсь. Мнінімальне наближення до реальності, то

01:33:52 можна розглянути, що буде мінятися, коли ми маємо рух на площині, тоді подібне доточкового руху, але йдуть координати, тобто йдуть значення коефіцієнтів по координаті Х по координаті у, як позиція, так і швидкості ми бачимо, і відповідно тоді в нас така блочно-діагональна матриця. По блоках позиція переходить сама в себе, а по швидкості треба множити на дельта Т. Так, по швидкості швидкість переходить сама в себе. Тому виходить отака. Трікутна верхня трикутна матриця по позиції.

01:34:53 Це по позиції, по координаті Х. І таке саме буде відбуватися по координаті у. Але відповідно це вже будуть Пі, Вігри, тобто координати 3 і 4. Тому будемо мати верхню трикутну матрицю, але. Вже в третьому читвертому стовчку? Так, ну і тут вже показано. Мовні позначення, в таких, щоб трошки зменшити розмірність цих позначень, матці

01:35:42 маленькі матриці або блочки позначені. У коме Ф із індексом . Тобто констн велосити. Так, і матриця вимірювань. Беремо найпростіший випадок вимірюється тільки координати. Це буде. Але координати у нас будуть по двох, по двох, тобто параметри будуть мати по двох координатах цей параметр позицій. І по першому параметру у нас буде одиничка по першій стрічці, а по другому параметру також позиції, але по другій стрічці. Тому таким чином

01:36:43 цей матрицами мирин будет. Так, тепер е розглядається модель руху на площині, але коли задається в полярна позиціях, задається полярних координатах. Полярні координати. Це є віде від полюса, який десь там вибраний початок координат, і відаль від цього полюса - це є

01:37:36 дальність, так. Куд азимуту. Фі це чи тут тета, а це є куд, як ми кажемо, до додатнього напрямку усіх. Якийсь вибраний напрямок за позитивний, і до нього відзнається куд? Так. Тепер. Як в цьому випадку нас зміняться формули?

01:38:21 В нас стан по Х і по І, так, швидкість В іг. Так прогноз лініний у нас уже був так і тут просто у нас що? Додається одна розмірність, так, значить, ми вже це розглядали. І по аналогії. Якщо ми беремо координату Х, то

01:39:10 х не міняється, х в себе переходить, тому одиничка швидкість треба помножити на дельта Т, щоб отримати зміну по координації. І таке ж саме такі самі співвідношення, але для наступних аналогічних по структурі, але для наступних параметрів. Це вже по ігри буде, значить це буде друга велична і четверте. Далі, по швидкості як по х і по іг, вважаємо, що приблизно незмінне, умовно, постійні, стоять одинички, просто в різних позиціях. І

01:40:07 матриця передачі шуму не тільки по швидкості, так. А, ні, ні, по прискоренню. Шум по прискоренню. Дельта Т квадратно 2. Так. По ік і по ігри. Так тільки вже в різних позиціях, в першій і в другій позиції і пораз і

01:41:12 Це зміна і це зміна по координацію. Ні, це перша цієї зміна по координаті, так? Для рівно прискореного руху А Т квадратно 2. Так, і друге - це зміна по швидкості. А дельта Т. Ось там тут тільки позиція і швидкість, тому отаких дві групи стрічок. Так, тепер матриця коверяції

01:41:59 шумопроцесу. Сигма А вважається постійна дисперсія. Так, ну і же. Вже ми вже побудували. І будуються такі ці структурні компоненти вже зліва і вже транспоноване справа. Якщо їх там перемножити, то у нас дельта Т кубна 2 появиться, так, і дельта Т квадрат. Тобто це вже коли при перемноженні ми отримуємо матрицю коваріації. А матриця коваріації нам потрібно для того, щоб.

01:42:50 Оцінити оптимальний прогноз повіміння так. Тепер Тепер ще розглянемо нелінійну модель вимірювання. Нелінійна модель вимірювання вона вже десь наближається до розширеного фільтра Калмана, але, по суті, це є лінійний рух тільки, який представлений в полярній системі координат. Тобто тут положення системи має дві координати: віддань Р і кут до даднього напрямку осі Хів кут тета.

01:43:48 Так, тепер у нас зміна зміна положення об'єкту в нас йде через матрицю Ф і через матрицю Ш. Тому що вжається, що є прискорений рух. Так, матриця переходу стану. един, не відповідно, е, відповідно, відповідно, по іксує по єрику є так змію

01:44:34 Значить, по першій координаті буде один Іна враховується далі. зміна цієї відалі відбувається по постійною швидкістю, такму зміна положення руху з постійною швидкістю обчислюється з допомогою ножника дельта Т. Аналогічно по другій стрічці, але вже по координатах І, тоді

01:45:24 швидкості вважаємо воно постійними, тільки по різних координатах. Тепер мати ця передачі шуму. Му. Ми вже розглядав дельта те квадрат на два Нуль. Так. Дельта те квадратно два. Ну тому що це вже по ігрику, і відповідно для другої стрічки 0, та квадрат на 2. Так, і це для зміни віддалі по постійному прискоренні, так? І для зміни швидкості. При постійному прискоренні у нас відповідно коефіцієнт дельта Т.

01:46:20 Так, матриці коореації в шуму процесу відповідно, сигма а квадрат у нас там є константа якась і вже і вже транспонована, якщо перемножимо, то ми отримуємо. Ковораційну матрицю. Так, далі. Мільяніна модель вимірювання. Значить, вимірювання у нас здійснюється з допомогою радера. Тобто, десь стоїть в якійсь точці спостережувальна станція, або якісь, скажімо, якісь

01:47:07 спостерігач із радаром, і вимірює зміну положень. Так, зміну положень тоді вже не Х, І. А він фіксує в полярній системі координат, тобто це буде віддаль, Р іт і кут повороту тета. Так, тепер як це можна пов'язати із. але в нас є положення, здається, з допомогою точок Х, І. Як пов'язати оці величини ро те, пов'язати і

01:48:12 Віддаль, це звичайна, віддаль від початку координат двовимірного вектора, це корінь квадратний суми квадратів цих координат. Зрозуміло, і кут, кут точка точка Х до початку координату. Якщо розглянути відповідні трикутники, то можна просто порахувати тергометричну функцію і взяти оберну тергометричну функцію. Значить, тут, в нашому випадку, розраховують через те. Тангенс. Тобто відношення. Зараз якщо кут, протилежний до прилегло, це буде у відноситься до Х.

01:49:16 Так, і відповідно обчислюється, щоб знайти сам код по тернометричній функції, беруть оберну функцію, і в нас виходить арт-пролез. Але тут ще бачимо не випадково. Тут записаний Артн 2, там певна модифікація функція РТНС, яка якраз прилаштована для обчислення, комп'ютерного обчислення цього кута, що там не виникає ніяких ускладнень і зручно на комп'ютері, ніяких переповнень, на комп'ютері використовувати просто функцію.

01:50:08 О, так, відповідно, також здається. Збурення, по віддалі ізброєння по куту з допомогою коваріаційної матриці Р та так І далі, і далі в нас іде ще

01:50:57 Так, іде у нас врахування на линійності. Точне, нелінійність у нас функція х від х. Зараз. Що це за функція? Ага, оця є функція. Це зв'язок від між полярними та декартовими координатами. Так, оцей перерахунок. І відповідно Зраховується матриця Якубі, береться похідна

01:51:45 від віддалі по Х і по Іг, і також похідна від віддалі по ВХ і по Віг. А по другій стрічці береться похідна по куту по Х, І, Вх, Вік. Так, пригадують чому древні відео і шукають похідні. Так, ДР по ДХ, ДР по ДУ. Підмог виходить, Х на Ріг на Р, ДР по ВХ і ДР по Вігрик, там Вх, Ві нігде не присутнє, тому нульі

01:52:36 коефіцієнти. Тепер похідна по азимуту. Якщо там задатись цілі, то все порахувати. Так, то виходить у нас по ху, що ділиться на Р квадрат, відповідно, мінус у квадрат. По Ігреку Хілиться на Р квадрат, так, по швидкостях також нуль похідні і в результаті отримується підсумкова матриця Якуб,

01:53:21 так и Так, похідна по Р. Так, то тут оці похідні по Р, то це ХР, ІР. Похідна по Т це оці мінус І квадрат Х на Р квадрат і похідні по Вх, Віть тут всі 4 нули. Ну, ось таким чином у нас показано, як можуть уже будуватися

01:54:08 моделі руху криволяні. Так, далі у нас піде вже розширений фільтр Калмана. Але це зовсім інша тема, і час у нас вже вичерпується. Тому давайте на цьому ми всього закінчимо. Якщо є питання, будь ласка, задавайте питання. І якщо питань немає, то дякую за увагу і до я так думаю, це десь орієнтовно буде наступний тиждень в той самий час.

01:54:54 Так, в цю п'ятницю. А, п'ятницю, ну. Буде в понеділок, напевно. Ні-ні, згідно розкладу теж. В п'ятниця сьогодні. А, вже до кінця дня. Ну, там буде видно. Наступний тиждень в ті самі години в той самий день маю на увазі. Ну так, скоріше всього, ті самі години, той самий день. Тому до зустрічі через тиждень. Якщо питань немає, то на цьому ми завершуємо. Дякуємо, всього доброго. Всього доброго. Дякуємо Дякую.

01:55:40 Це скоро вже виключити. Він теж подякувати.